Qu'est-ce que critère de cauchy ?

Le critère de Cauchy est un outil important en mathématiques qui permet de déterminer si une suite de nombres convergera vers une limite donnée ou non. Il a été formulé par le mathématicien français Augustin-Louis Cauchy au 19ème siècle.

Le critère de Cauchy stipule que pour qu'une suite de nombres converge, il est nécessaire et suffisant que pour tout petit nombre positif ε, il existe un entier N tel que pour tout n, m ≥ N, la différence entre le n-ième et le m-ième terme ne dépasse pas ε. Autrement dit, plus on avance dans la suite, plus les termes successifs se rapprochent les uns des autres, jusqu'à ce qu'à partir d'un certain rang, cette différence soit inférieure à n'importe quelle valeur arbitraire ε choisie préalablement.

Par exemple, la suite (1/n) converge vers zéro car pour tout ε>0, il existe un entier N tel que pour tout n,m≥N, |1/n - 1/m|<ε. Cette suite est donc de Cauchy.

Le critère de Cauchy est utilisé dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment en analyse, en probabilité et en théorie des nombres. C'est un outil puissant pour démontrer l'existence de limites dans de nombreux cas.